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\date{\today} % 可选，如果不指定，则不会显示日期
\author{yeliqin666}
\setorg{School of Physics, Xi'an Jiaotong University, China}
\title{热学课堂笔记}
% 取消本条注释，则将定义计数器归并到定理下
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\begin{document}

	\maketitle

	\tableofcontents
	
	\newpage
	
	\chapter{数学补充复习}
	
	\section{矢量代数}
	
	我们目前最常接触的物理量有\emph{标量}和\emph{矢量}，如果考虑他们对空间位置的依赖，那么就有\emph{标量场}和\emph{矢量场}。本部分回顾矢量运算的简单规则，并引入爱因斯坦求和约定。
	\subsection{矢量坐标分量表示法}
	一个矢量可以用基矢的线性组合来表达，
	\[\b{A}=A_x\b{i}+A_y\b{j}+A_z\b{k}=A_i\hat{\b{e}}_i,\quad \hat{\b{e}}_i\cdot\hat{\b{e}}_j=\delta_{ij}.\]
	\subsection{爱因斯坦求和规则}
	这里与课堂上的顺序稍有调换，将这部分先放到前面。爱因斯坦求和规则是，\emph{重复指标意味求和，省略求和号}。作为最简单的例子，一个矢量可以写成
	\[\b{A}=A_i\hat{\b{\e}}_i.\]
	对于一组单位正交基矢，应该有关系
	\[\hat{\b{e}}_i\cdot\hat{\b{e}}_j=\delta_{ij},\quad \hat{\b{e}}_i\times\hat{\b{e}}_j=\varepsilon_{ijk}\hat{\b{e}}_k.\]
	其中$\varepsilon_{ijk}$被成为三阶反对称张量，它满足
	\[\varepsilon_{ijk}=\left\{\begin{gathered}1,\quad ijk\text{为123的偶排列} \\ -1,\quad ijk\text{为123的奇排列} \\ 0,\qquad\qquad \text{其他情况}\end{gathered}  \right.\]
	在矢量运算公式的推到中经常会用到它的一个性质：
	\[\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmk}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta{im}\delta_{jl}.\]
	看起来很复杂，但其实还是比较好记的。
	
	利用爱因斯坦求和约定可以方便地得到矢量运算的一些结论。例如：
	\begin{itemize}
		\item[(1)]
		\[\b{A}\cdot(\b{B}\times\b{C})=\b{C}\cdot(\b{A}\times\b{B})=\b{B}\cdot(\b{C}\times\b{A}).\] 
		\item[(2)]
		\[\b{A}\times(\b{B}\times\b{C})=\b{B}(\b{A}\cdot\b{C})-\b{C}(\b{A}\cdot\b{B}).\]
		\item[(3)]
		\[(\b{A}\times\b{B})\cdot(\b{C}\times\b{D})=(\b{A}\cdot\b{C})(\b{B}\cdot\b{D})-(\b{A}\cdot\b{D})(\b{B}\cdot\b{C}).\]
	\end{itemize}

	至此，最简单的一部分矢量代数就结束了。
	\section{矢量场的微分积分}
	\subsection{梯度}
	\emph{梯度}的想法是从单元函数到多元函数微分的推广过程中产生的。对于单元函数，它的微分可以写成
	\[\d f=\frac{\d f}{\d x}\d x = f'(x)\d x.\]
	对于多元函数，例如，在电动力学中主要是空间位置的函数，它的全微分可以写成
	\[\d T = \frac{\partial T}{\partial x_i}\d x_i \triangleq (\nabla T)\cdot\d \b{l}.\]
	这就是标量场梯度的定义。梯度算符可以写成
	\[\nabla=\hat{\b{e}}_i\partial_i.\]
	梯度算符作用在标量场上产生一个矢量场。
	
	\subsection{散度，旋度}
	从梯度算符的引入中我们可以看到，这个算符同时具有微分性和矢量性。相比利用极限的引入，我们可以通过其与矢量运算的类比来引入散度和旋度。矢量场的散度是
	\[\nabla\cdot\b{v}=\partial_iv_i,\]
	矢量场的旋度是
	\[\nabla\times\b{v}=\varepsilon_{ijk}\partial_iv_j\hat{\b{e}}_k.\]
	
	\subsection{梯度算符的运算规则}
	这里总结一些梯度算符的运算规则，并使用爱因斯坦求和规则对其中的一些命题进行简单的证明。
	\begin{itemize}
		\item[(1)]
		 \[\nabla(f+g)=\nabla f+\nabla g.\]
		 \item[(2)]
		 \[\nabla\cdot(\b{A}+\b{B})=\nabla\cdot\b{A}+\nabla\cdot\b{B}.\]
		 \item[(3)]
		 \[\nabla\times(\b{A}+\b{B})=\nabla\times\b{A}+\nabla\times\b{B}.\]
		 \item[(4)]
		 \[\nabla\cdot(f\b{A})=f\nabla\cdot\b{A}+\b{A}\cdot\nabla f.\]
		 \item[(5)]
		 \[\nabla\times(f\b{A})=f\nabla\times\b{A}-\b{A}\times(\nabla f).\]
		 \begin{proof}
		 	\begin{align*}
		 		\nabla\times(f\b{A})&=\varepsilon_{ijk}\partial(f\b{A})_j\hat{\b{e}}_k \\
		 		&=f\varepsilon_{ijk}\partial_iA_j\hat{\b{e}}_k+\varepsilon(\partial_i f)A_j\hat{\b{e}}_k \\
		 		&=f\nabla\times\b{A}-\b{A}\times(\nabla f).
		 	\end{align*}
		 \end{proof}                                          
	\end{itemize}
	
	
	\subsection{一些矢量运算公式}
	这一部分是在使用中不断完善的一部分，主要对我们在后续课程中用到的矢量运算公式进行列举和证明。
	\begin{itemize}
		\item[(1)]
		\[\nabla\times(\b{A}\times\b{B})=(\b{B}\cdot\nabla)\b{A}-\b{B}(\nabla\cdot\b{A})+\b{A}(\nabla\cdot\b{B})-(\b{A}\cdot\nabla)\b{B}.\]
		 \begin{proof}
		 	这个公式从$\nabla$算子的矢量性和微分性的双重性质出发去证明会比较方便，但是我们这里还是采用爱因斯坦求和约定来写，作为第一个比较复杂的推导例子来使读者熟悉爱因斯坦求和约定的应用。
		 	
		 	\begin{align*}
		 		\nabla\times(\b{A}\times\b{B})&=\varepsilon_{ijk}\partial_i(\b{A}\times\b{B})_j\hat{\b{e}}_k \\
		 		&=\varepsilon_{ijk}\partial_i\varepsilon_{lmj}A_lB_m\hat{\b{e}}_k \\
		 		&=(\delta_{im}\delta_{kl}-\delta_{ik}\delta_{km})\partial_i(A_lB_m)\hat{\b{e}}_k \\ 
		 		&=\partial_i(A_kB_i)\hat{\b{e}}_k - \partial_i (A_iB_k)\hat{\b{e}}_k \\
		 		&=B_i\partial_iA_k\hat{\b{e}}_k+A_k\partial_iA_i\hat{\b{e}}_k-B_k\partial_iA_i\hat{\b{e}}_k-A_i\partial_iB_k\hat{\b{e}}_k \\
		 		&=(\b{B}\cdot\nabla)\b{A}+(\nabla\cdot\b{B})\b{A}-(\nabla\cdot\b{A})\b{B}-(\b{A}\cdot\nabla)\b{B}.
		 	\end{align*}
	 		证毕。
		 \end{proof}
	 
	 	\item[(2)]
	 	\[\nabla(\b{A}\cdot\b{B})=(\b{A}\cdot\nabla)\b{B}+(\b{B}\cdot\nabla)\b{A}+\b{A}\times(\nabla\times\b{B})+\b{B}\times(\nabla\times\b{A}).\]
	 	\begin{proof}
	 		这个公式不是那么好证。我们从右边的后两个式子着手
	 		\begin{align*}
	 			\b{A}\times(\nabla\times\b{B})&=\varepsilon_{ijk}A_i(\nabla\times\b{B})_j\hat{\b{e}}_k \\ 
	 			&= \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmj}A_i\partial_lB_m\hat{\b{e}}_k \\
	 			&= (\delta_{im}\delta_{kl}-\delta_{ik}\delta_{km})A_i\partial_lB_m\hat{\b{e}}_k \\
	 			&= A_i\partial_kB_i\hat{\b{e}}_k-A_i\partial_iB_k\hat{\b{e}}_k,
	 		\end{align*}
 			同样的，由交换对称性我们可以马上得到
 			\[\b{B}(\nabla\times\b{A})=B_i\partial_kA_i\hat{\b{e}}_k-B_i\partial_iA_i\hat{\b{e}}_k,\]
 			把这两项加起来我们就得到
 			\[\b{A}\times(\nabla\times\b{B})+\b{B}\times(\nabla\times\b{A})=\nabla(\b{A}\cdot\b{B})-(\b{A}\cdot\nabla)\b{B}-(\b{B}\cdot\nabla)\b{A}.\]
 			移项就可以得到我们要的公式。证毕。
	 	\end{proof}
 		
 		\item[(3)]
 		\[(\nabla\times\b{A})\times\b{A}=(\b{A}\cdot\nabla)\b{A}-\frac{1}{2}\nabla\b{A}^2.\]
 		证明比较简单，就不写了。
	\end{itemize}
	
	\subsection{二阶导数的重要公式}
	对于标量场$\phi$，矢量场$\b{A}$，有如下重要公式：
	\begin{itemize}
		\item[(1)] 
		\[\nabla \times \nabla \phi = 0,\]
		\item[(2)]
		\[\nabla\cdot (\nabla\times \b{A})=0,\]
		\item[(3)]
		\[\nabla^2 \b{A}=\nabla(\nabla\cdot\b{A})-\nabla\times(\nabla\times\b{A}).\] 
		
	\end{itemize}
	下面利用爱因斯坦求和约定给出证明。
	\begin{proof}
		\begin{itemize}
			\item[(1)] 
			\begin{align*}
				\nabla\times\nabla\phi&=\varepsilon_{ijk}\hat{\b{e}}_i\partial_j (\nabla\phi)_k \\
				&=\varepsilon_{ijk}\hat{\b{e}}_i\partial_{jk}\phi \\
				&=0
			\end{align*}
			
			\item[(2)]
			\begin{align*}
				\nabla\cdot (\nabla\times\b{A})&=\partial_i (\nabla\times\b{A})_i \\
				&=\partial_i\varepsilon_{ijk}\partial_j A_k \\
				&=0
			\end{align*}
			其中，最后一步可以考虑将$i,j$互换，这样就可以自然地得到结果。
		\end{itemize}
	\end{proof}

	\subsection{高斯定理}
	\[\oint\b{A}\cdot\d\b{S}=\int \nabla\cdot\b{A}\d V.\]
		
	\subsection{斯托克斯定理}
	\[\oint \b{A}\cdot\d\b{l}=\int(\nabla\times\b{A})\cdot\d\b{S}.\]
	
	
	
	
	
	
	
\end{document}